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1. Formulaire : Toutes les dérivées usuelles - Progresser-en-maths. Nombre dérivé Définition Soit f f une fonction définie sur un intervalle I I et soient 2 réels x 0 x_{0} et h ≠ 0 h\neq 0 tels que x 0 ∈ I x_{0} \in I et x 0 + h ∈ I x_{0}+h \in I. Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction f f entre x 0 x_{0} et x 0 + h x_{0}+h est le nombre: T = f ( x 0 + h) − f ( x 0) h T=\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} Une fonction f f est dérivable en x 0 x_{0} si et seulement si le nombre f ( x 0 + h) − f ( x 0) h \frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel l l lorsque h h tend vers 0. l l est appelée nombre dérivé de f f en x 0 x_{0}, on le note f ′ ( x 0) f^{\prime}\left(x_{0}\right). On écrit: f ′ ( x 0) = lim h → 0 f ( x 0 + h) − f ( x 0) h f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h}. Remarques Le quotient f ( x 0 + h) − f ( x 0) h \frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} est le taux d'accroissement de f f entre x 0 x_{0} et x 0 + h x_{0}+h.
Devra-t-on à chaque fois qu'on a affaire à la fonction carré refaire ce calcul? Du nombre dérivé à la fonction dérivée Non on ne refera le même calcul à chaque fois! On retiendra par cœur que pour la fonction carré, f ′ ( a) = 2 a f'(a)=2a ou encore que lorsque f ( x) = x 2 f(x)=x^2 alors f ′ ( x) = 2 x f'(x)=2x. Ce processus automatique qui permet d'associer un nombre x x à un nombre dérivé f ′ ( x) f'(x) s'appelle la fonction dérivée. Ainsi la fonction dérivée de la fonction carré est 2 x 2x. Et la fonction dérivée d'une fonction affine du type m x + p mx+p est m m, etc. Liste non exhaustive des fonctions dérivées Ci-dessous une liste non exhaustive des fonctions dérivées, au programme de 1ère. x x est la variable. m m, p p et k k sont des constantes réelles. Calculer le nombre dérivé (1) - Première - YouTube. n n est un nombre entier non nul. u u et v v sont des fonctions. f ( x) f(x) f ′ ( x) f'(x) m x + p mx+p m m x 2 x^2 2 x 2x 1 x \dfrac{1}{x} − 1 x 2 \dfrac{-1}{x^2} x \sqrt{x} 1 2 x \dfrac{1}{2\sqrt{x}} u + v u+v u ′ + v ′ u'+v' k u ku k u ′ ku' 1 u \dfrac{1}{u} − u ′ u 2 \dfrac{-u'}{u^2} u 2 u^2 2 u ′ u 2u'u Remarques: La vidéo et le cours sont accessibles en suivant le lien:.
Le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers le coefficient directeur de la droite TA. Nombre dérivé: Tangente à une courbe Soit f une fonction dérivable en un point a et soit C sa courbe représentative. Les nombres dérivés video. La droite passant par le point A de coordonnées (a, f(a)) et de coefficient directeur f'(a) s'appelle la tangente à la courbe C au point A. Soit f une fonction dérivable en a et soit C sa courbe représentative. La tangente TA à la courbe C au point A de coordonnées (a, f(a)) a pour équation Démonstration La tangente TA à la courbe C au point A(a, f(a)) a une équation de la forme α est le coefficient directeur de la droite d'équation Comme la tangente TA a pour coefficient directeur f'(a) on a Nombre dérivé: Equation de la tangente L'équation de TA s'écrit donc Le point A appartient à la tangente TA donc ses coordonnées (a, f(a)) vérifient l'équation de TA. On a donc On en déduit et l'équation de TA s'écrit Nombre dérivé: Approximation affine locale Soit f une fonction dérivable en a.
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