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Propriété fausse. En effet, supposons que pour un entier naturel k quelconque, P( k) soit vraie, c'est-à-dire que \(10^k+1\) est divisible par 9. Alors, si p désigne un entier, on a:$$\begin{align}10^k+1=9p & \Rightarrow 10(10^k+1)=90p\\&\Rightarrow 10^{k+1}+10=90p\\&\Rightarrow 10^{k+1}+10-9=90p-9\\&\Rightarrow 10^{k+1}+1=9(10p-1)\end{align}$$ On peut ainsi conclure que \(10^{k+1}+1\) est divisible par 9. On a alors démontré que P( k) ⇒ P( k + 1). La propriété est donc héréditaire. Or, pour n = 0, \(10^n+1=10^0+1=1+1=2\), qui n'est pas divisible par 9. Pour n =1, \(10^n+1=10+1=11\) n'est pas non plus divisible par 9… Nous avons donc ici la preuve que ce n'est pas parce qu'une propriété est héréditaire qu'elle est vraie. Il faut nécessairement qu'elle soit vraie pour le premier n possible. L'initialisation est donc très importante dans un raisonnement par récurrence. Pour en savoir plus sur le raisonnement par récurrence, vous pouvez jeter un coup d'œil sur la page wikipedia. Retrouvez plus d'exercices corrigés sur la récurrence sur cette page.
Moyennant certaines propriétés des entiers naturels, il est équivalent à d'autres propriétés de ceux-ci, en particulier l'existence d'un minimum à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou... ) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection... ) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale. ) (bon ordre), ce qui permet donc une axiomatisation alternative reposant sur cette propriété. Certaines formes de ce raisonnement se généralisent d'ailleurs naturellement à tous les bons ordres infinis (pas seulement celui sur les entiers naturels), on parle alors de récurrence transfinie, de récurrence ordinale (tout bon ordre est isomorphe à un ordinal); le terme d' induction est aussi souvent utilisé dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le... Le raisonnement par récurrence peut se généraliser enfin aux relations bien fondées.
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Bonjour, pourriez-vous me donner les pistes pour faire cet exercice s'il vous plait, car je ne voit pas du tout comment commencer à le résoudre: n q 2 est la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls.
/ (x + 1) p+1]' ∀ x ∈ D ƒ, ƒ (p+1) (x) = (−1) p p! [−(p+1)] / (x + 1) p+1+1 ∀ x ∈ D ƒ, ƒ (p+1) (x) = −(−1) p p! (p+1) / (x + 1) p+2 = = (−1) p+1 (p+1)! / (x + 1) p+2 = P(p) est vrai pour tout entier p ≥ 1. Conclusion: P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 1, donc: pour tou entier n ≥ 1, et ∀ x ∈ D ƒ, ƒ (n) (x) = (−1) n n! / (x + 1) n+1 =