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La somme et le produit des racines éventuelles d'une fonction polynôme de degré deux s'expriment simplement en fonction de ses coefficients. Cette propriété permet parfois de déterminer aisément la valeur d'une ou plusieurs racines. Soit trois réels a, b et c avec a ≠ 0 et soit la fonction polynôme du second degré P définie pour tout réel x par P ( x) = ax 2 + bx + c. À noter Ces relations sont encore vérifiées si P admet une unique racine x 0, en prenant x 1 = x 2 = x 0. On suppose que P admet deux racines distinctes x 1 et x 2. Théorème. À noter Si s 2 – 4 p = 0, les réels u et v sont égaux. Soit s et p deux réels. Il existe deux réels u et v tels que u + v = s et u × v = p si, et seulement si s 2 – 4 p ⩾ 0. Soit P une fonction polynôme du second degré dont on connaît les deux racines u et v. Notons s et p la somme et le produit de ces racines: s = u + v et p = uv. Remarque: Ceci permet de vérifier les solutions trouvées lors de la résolution d'une équation du second degré. À noter Le réel a est bien sûr le coefficient dominant de P. 1 Résoudre des équations du second degré dont une solution est évidente Résoudre l'équation – x 2 + 4 x + 5 = 0 après en avoir déterminé une solution « évidente ».
*** message déplacé *** édit Océane: pose toutes les questions de ton exercice dans le même topic, merci Posté par euclide re: polynome 25-10-08 à 18:47 Quelque soit la valeur de delta, c/a est toujours le produit des produit de celle que tu as par elle-même *** message déplacé *** Posté par maeva33 re: polynome 25-10-08 à 18:49 OUi mais comment le démontrer kan delta =0?? Posté par dagwa re: polynome 25-10-08 à 18:50 Bonsoir maeva33, lorsque delta est positif ou nul on peut écrire f(x)=a(x-)(x-). Ici delta =0 donc f(x)=a(x+b/(2a))². On a alors f(x)=ax²+bx+b²/(4a) donc c=b²/(4a) et c/a=b²/(4a²). Plus simplement b²-4ac=0 donc b²=4ac et c/a=b²/(4a²) qui est le produit des deux racines. Posté par maeva33 re: polynome 25-10-08 à 18:54 anh merci beaucoup (=! Bonne soirée. Posté par maeva33 somme et produit des racines d'un trinome du second degrés 26-10-08 à 11:11 Bonjour à tous. Voilà je traville en ce moment sur un exerci de maths mais je galére un peu. La question étant: 3) aprés avoir vérifier que x1 est une racine de f, résoudre l'équation f(x) = 0 sans calculer delta mais en utilisant les questions précédentes, dans chacun des cas suivant: a) f(x) = 2x²+12x+10 x1=-1 b) f(x) =x²-(RAC2+RAC3)x+RAC6 x1 -RAC2 Les questions précédentes étant: 1) On supose Delta >0 démontrer que S = -b/a et P = c/a ( S étant la somme et P le produit du trinome) 2) Lorsque Delta = 0 que représentent -b/a et c/a Les 2 premiéres questions on étaient traitées et démontrer mais pour la 3ieme question je bloque.
Répondre à la discussion Affichage des résultats 1 à 3 sur 3 31/10/2010, 15h10 #1 SoaD25 Produit des racines n-ièmes de l'unité ------ Bonjour, un calcul me pose problème et j'aimerais un peu d'aide Soient les n racines n-ièmes de l'unité. Je dois montrer que pour tout entier, on a: Cela reviendrait à montrer que: soit: Mais après je ne vois pas comment calculer effectivement le produit.. Une piste? Merci ----- 31/10/2010, 15h22 #2 jobherzt Re: Produit des racines n-ièmes de l'unité 31/10/2010, 15h30 #3 Ah oui je n'y avais pas pensé ça marche très bien merci! Discussions similaires Réponses: 4 Dernier message: 01/03/2010, 14h14 Réponses: 1 Dernier message: 10/12/2008, 20h48 Réponses: 18 Dernier message: 31/10/2008, 18h16 Réponses: 6 Dernier message: 12/10/2008, 19h21 Réponses: 2 Dernier message: 18/10/2004, 17h28 Fuseau horaire GMT +1. Il est actuellement 06h04.
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Une question? Pas de panique, on va vous aider! N'arrive pas à reconstituer les étapes du calcul 20 janvier 2016 à 11:50:49 Salut, Dans mon livre de révisions et d'exercices sur les maths niveau 1ère S, on me présente d'abord deux informations (théorème ou propriété, je ne sais pas, si quelqu'un peut me dire? ): - Si le trinome ax^2 + bx + c a deux racines x1 et x2 distinctes ou confondues, alors x1 + x2 = - b/a et x1 * x2 = c/a; - Si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ces deux sont les solutions de l'équation x^2 - S * x + P = 0 On me présente ensuite un exemple de calcul. On veut trouver le nombre réel tel que le trinôme P(x) = 2 * x^2 + 6 * x + c admette la racine 1. Calculer alors l'autre racine. Méthode de résolution présentée: Pour déterminer c, il suffit d'écrire P(1) = 0 (ah, "il suffit"... ) Puis on utilise x1 * x2 = c/a ou x1 + x2 = - b/a pour obtenir l'autre racine Puis on me présente une solution P(1) = 0 équivaut à 2 + 6 + c = 0 (quoi?? pourquoi on enlève le x^2 et le x de 2 * x^2 - 6 * x + c???
Ce qui se traduit par: Exercice 2-5 [ modifier | modifier le wikicode] Dont les racines sont: Formez une équation du troisième degré dont les racines sont: Nous avons: L'équation du troisième degré recherchée est donc: Exercice 2-6 [ modifier | modifier le wikicode] Soit l'équation de degré 3:. Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients a, b, c, d pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des deux autres. Soit x 1, x 2, x 3, les trois racines de l'équation. Nous devons avoir:, ce qui est équivalent à: est égal à l'une des trois racines, ou encore:, c'est-à-dire:. Exercice 2-7 [ modifier | modifier le wikicode] Soit l'équation de degré 3: Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients pour que les trois racines de cette équation soient les affixes des sommets d'un triangle équilatéral dans le plan complexe. Les trois racines de l'équation sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si elles sont de la forme: où les sont les trois racines cubiques d'un même nombre complexe, c'est-à-dire si et seulement si:.