Prouver que l'ensemble des points $M(t)$, pour $t\geq 0$, ne peut pas être contenu dans $Q_1$. On pourra utiliser le lemme suivant: si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est une fonction dérivable telle que $f'$ admet une limite non-nulle en $+\infty$, alors $|f|$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$. Enoncé Soient $a, b>0$ deux constantes positives et $x_0 > 0$, $y_0 > 0$ donnés. Considérons le système différentiel:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x'&=& -(b+1)x+x^2y+a \\
y'&=&bx-x^2y\\
x(0)&=&x_0\\
y(0)&=&y_0
Dans la suite on note $(x, y)$ une solution maximale du système différentiel, définie sur $[0, T_m[$. Fonction linéaire exercices corrigés des épreuves. Soit $ \overline{t} \in [0, T_m[$ tel que $x(\overline{t})=0$. Démontrer que $x'(\overline{t})>0$, puis que $ x(t)>0$ pour tout $t\in [0, T_m[$. Démontrer que de même $y(t) >0$ pour tout $ t \in [0, T_m$[. En remarquant que $(x+y)'(t)\leq a$ pour tout $t \in [0, T_m[$, démontrer que $T_m =+\infty$
Calculer la dérivée de $t \rightarrow x(t) e^{(b+1)t}$. En déduire que, pour tout $0<\gamma <\displaystyle\frac{a}{b+1}$, il existe $T_{\gamma}>0$, indépendant de $x_0 >0$ et de $y_0 >0$ tel que $x(t)\geq \gamma$ pour tout $t\geq T_{\gamma}$.
- Fonction linéaire exercices corrigés des épreuves
Fonction Linéaire Exercices Corrigés Des Épreuves
Enoncé Démontrer que l'équation différentielle suivante
$$y'=\frac{\sin(xy)}{x^2};\ y(1)=1$$
admet une unique solution maximale. Résolution pratique d'équations différentielles non linéaires
Enoncé Résoudre les équations différentielles suivantes:
$$\begin{array}{lll}
\mathbf 1. \ y'=1+y^2&\quad&\mathbf 2. \ y'=y^2
\end{array}$$
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf 1. \ y'+e^{x-y}=0, \ y(0)=0&\quad&\mathbf 2. \ y'=\frac{x}{1+y}, \ y(0)=0\\
\mathbf 3. \ y'+xy^2=-x, \ y(0)=0. \end{array}
\mathbf 1. \ y'+2y-(x+1)\sqrt{y}=0, \ y(0)=1&\quad&\mathbf 2. \ y'+\frac1xy=-y^2\ln x, \ y(1)=1\\
\mathbf 3. Fonction linéaire exercices corrigés ces corriges pdf. \ y'-2\alpha y=-2y^2, \ y(0)=\frac\alpha2, \ \alpha>0. \mathbf 1. \ xy'=xe^{-y/x}+y, \ y(1)=0&\quad&\mathbf 2. \ x^2y'=x^2+xy-y^2, \ y(1)=0\\
\mathbf 3. \ xy'=y+x\cos^2\left(\frac yx\right), \ y(1)=\frac\pi4. Enoncé On se propose dans cet exercice de résoudre sur l'intervalle $]0, +\infty[$ l'équation différentielle $(E)$
$$y'(x)-\frac{y(x)}{x}-y(x)^2=-9x^2. $$
Déterminer $a>0$ tel que $y_0(x)=ax$ soit une solution particulière de $(E)$.
`(O, vec(i), vec(j)) ` est un repère orthonormé
On considère les fonctions ` f ` et ` g ` définies par ` f(x)= 2/3x ` et ` g(x)= 3/4x `
1a) Calculer ` f(-2), f(-1), f(-3) `
b) Calculer ` g(8), g(-7/9), g(4) `
2) Tracer dasn le meme repère, les courbes des fonctions ` f ` et ` g `